Одна из причин, когда не отправляются письма с сайтов с помощью функции phpmail().

Большинство php-скриптов, используют стандартную функцию от php, для отправки почтовых сообщений — phpmail(). И бывают случаи, когда она не работает, исключаем банальные причины типа — добавление функции в disabled_functions, либо блокировку пользователя в exim.conf и прочее.

Симптомы — письмо вроде бы уходит, но нигде о нем никаких упоминаний нет, в том числе в логе exim-а.

Причина — кривые права на бинарник самого exim-а, а именно, отсутствие suid-бита на нем, потому как phpmail запускается из под процесса веб-сервера, либо конечного системного пользователя, и пытается обратиться к /usr/sbin/exim для отправки, но если suid не стоит, ему не хватает прав соответственно.

Исправление простое:
# chmod 4655 /usr/sbin/exim (exim4 в debian-based системах)